Zahlensysteme und Adressrechnen

Information wird in Speicherzellen gespeichert

Speicherzelle	Low, 0	High, 1

Die Speicherzellen (Bits) in gebräuchlichen Datenverarbeitungs-Systemen können zwei Zustände annehmen:

Low oder High, 0 oder 1.

Kodierung von Information

Daher muss die zu verabeitende Information in diese binäre Darstellung umgewandelt, kodiert werden:

"Kodes, die nur zwei Zeichen verwenden, heissen binäre Kodes."

Bit 1	Bit 0	Schreibweise
		00
		01
		10
		11

Zahl	Kodierung	Bit 1	Bit 0
	=
	=
	=
	=

Die Zahlen 0..3 sollen kodiert werden. Das sind 4 Werte, mit einer Speicherzelle ist das so nicht möglich - die kann ja nur 0 oder 1. Man braucht zwei Stellen (Bits), damit sind 4 Kombinationen möglich!

Auf der einen Seite haben wir nun 4 Kombinationen von 2 Bits auf der anderen die 4 Zahlen 0..3.

Welche Bit-Kombination entspricht nun einer Zahl?

Die Zahlen müssen als Bit-Kombination kodiert werden.

Anzahl möglicher Kodierungen

Möglichkeiten der Zuordnung
Zahl	Kode 1	Kode 2	Kode 3	..	Kode 24
0	00	00	00	..	11
1	01	10	10	..	10
2	10	01	11	..	01
3	11	11	01	..	00

Es gibt 4! = 1*2*3*4 = 24 Möglichkeiten einer Kodierung!

Verteile 4 verschiedene Hüte auf 4 Haken [Permutation, Fakultät].
Jede dieser Möglichkeiten ist ein Kode. Es lassen sich ausserordentlich viele binäre Kodes aufstellen, d.h. wie die Information im System dargestellt wird.

Angewendet werden jedoch nur einige wenige der vielen möglichen binären Kodes.

Eine besonders einfache Zuordnung ist das Dualsystem.

Informations-Kodierung-Systeme

Dualsystem (Stellenwertsystem)
Stelle	n	..	2	1	0
Wertigkeit	2ⁿ	..	2²	2¹	2⁰
Wert	-	..	4	2	1
Beispiel	-	..	1	0	1
5 =			1*4+	0*2+	1*1

Man ordnet jeder Stelle einer Zahl eine Wertigkeit zu, pro Stelle zwei verschiedene Ziffern: 0,1

Für Menschen: Oktalsystem -8er
Stelle	n	..	2	1	0
Wertigkeit	8ⁿ	..	8²	8¹	8⁰
Wert	-	..	64	8	1
Beispiel	-	..	1	0	1
65 =			1*64 +	0*8 +	1*1

Da so viele Einsen für Menschen schlecht lesbar waren, gruppierte man bei der Darstellung 3 Dual-Stellen zu einer Oktal-Stelle zusammen, pro Stelle 8 verschiedene Ziffern: 0,1,2,3,4,5,6,7

Hexadezimalsystem -16er (Sedezimalsystem)

Stelle	n	..	2	1	0
Wertigkeit	16ⁿ	..	16²	16¹	16⁰
Wert	-	..	256	16	1
Beispiel	-	..	1	0	1
257 =			1*256 +	0*16 +	1*1

Das Oktalsystem hat sich als nicht besonders praktisch erwiesen, daher gruppiert man heute 4 Dual-Stellen zu einer Hex-Stelle zusammen, pro Stelle 16 verschiedene Ziffern: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

Geschickterweise lassen sich je 4 Bit (16 Zustände) zu einer Hex-Stelle zusammenfassen, man bezeichnet 4 Bit daher als ein Nibble, oder Halbbyte.

Wie sag ich es dem Computer (Eingabeformate von Zahlen)

Dezimalzahlen: 1234

Dualzahlen haben ein 0b davor: 0b110 = 6

Oktalzahlen haben eine 0 davor: 010 = 8

Hexadezimalzahlen haben 0x davor: 0x10 = 16

Umrechnung von Zahlensystemen

Stelle	7	6	5	4	3	2	1	0
Wertigkeit	2⁷	2⁶	2⁵	2⁴	2³	2²	2¹	2⁰
Wert	128	64	32	16	8	4	2	1
Beispiel	0	1	1	1	1	0	1	1
Berechnung	0*128	+ 1*64	+ 1*32	+ 1*16	+ 1*8	+ 0+4	+ 1*2	+ 1*1	= 123

Umrechnung von Zahlensystemen

Dual -> Dezimal

Beispiel: 01111011₂ -> ?₁₀

Übung

1010₂ -> 8+2 = 10₁₀

Dezimal -> Dual

Beispiel: 123₁₀ -> 111 1011₂

123 : 2 = 61 Rest: 1
 61 : 2 = 30 Rest: 1
 30 : 2 = 15 Rest: 0
 15 : 2 = 7  Rest: 1
  7 : 2 = 3  Rest: 1
  3 : 2 = 1  Rest: 1
  1 : 2 = 0  Rest: 1

Übung: 77₁₀ -> 100 1101₂

77 : 2 = 38  Rest: 1
38 : 2 = 19  Rest: 0
19 : 2 =  9  Rest: 1
 9 : 2 =  4  Rest: 1
 4 : 2 =  2  Rest: 0
 2 : 2 =  1  Rest: 0
 1 : 2 =  0  Rest: 1

Übung: 35₁₀ -> 10 0011₂

35 : 2 = 17  Rest: 1
17 : 2 =  8  Rest: 1
 8 : 2 =  4  Rest: 0
 4 : 2 =  2  Rest: 0
 2 : 2 =  1  Rest: 0
 1 : 2 =  0  Rest: 1

Dezimal	Dualzahl	Hexziffer
0	0000	0
1	0001	1
2	0010	2
3	0011	3
4	0100	4
5	0101	5
6	0110	6
7	0111	7
8	1000	8
9	1001	9
10	1010	A
11	1011	B
12	1100	C
13	1101	D
14	1110	E
15	1111	F

Dual -> Hex

Beispiel: 1101 0111₂ -> D7₁₆

Bilde von rechts nach links Vierergruppen und wandle immer 4 Bit in Hexziffer um:

Dualzahl   1101 0111
Hexziffer    D    7

Übungen

1010₂ -> A₁₆

00010001₂ -> 11₁₆

Hex -> Dual

Problem: D7₁₆ -> 1101 0111₂

Wandle Hexziffern in Dualzahlen um:

Hexzahl    D    7
Dualzahl 1101 0111

Übungen

12₁₆ -> 0001 0010₂

AFFE₁₆ -> 1010 1111 1111 1110₂

Hex -> Dezimal

Problem: D7₁₆ -> 215₁₀

Multipliziere entsprechend der Wertigkeit:

(D=13) 13 * 16¹ + 7 * 16⁰ = 208 + 7 = 215

Übungen

12₁₆ -> 16+2 = 18₁₀

AA₁₆ -> 160 + 10 = 170₁₀

Dezimal -> Hex

Problem: 123₁₀ -> 7B₁₆

123 : 16 =   7  Rest: 11 -> B
  7 : 16 =   0  Rest:  7 -> 7

Übung: 77₁₀ -> 4D₁₆

77 : 16 =  4  Rest: 13  -> D
 4 : 16 =  0  Rest:  4  -> 4

Übung: 35₁₀ -> 23₁₆

35 : 16 =  2  Rest:  3 -> 3
 2 : 16 =  0  Rest:  2 -> 2

Weitere Aufgaben...

Einheiten sind Binär Ki Mi Gi Ti

Beispiel Klassisch	Größe	Abkürzung neu	Beispiele
Kilo 1 KB	2¹⁰ = 1024	Ki	1 KiB für 1024 Byte
Mega 1 MB	2²⁰	Mi	1 MiB für 1024² Byte
Giga 1 GB	2³⁰	Gi	1 GiB für 1024³ Byte
Terra 1 TB	2⁴⁰	Ti	1 TiB für 1024⁴ Byte

Das Informatiker-Kilo wiegt 1024. Um dies zu kennzeichen werden neuerdings die Abkürzugen um ein 'i' erweitert: KiBiByte für KiloBinaryByte oder kurz KiB.

Links zur Vertiefung: http://de.wikipedia.org/wiki/Kibibyte http://de.wikipedia.org/wiki/Datenmenge

Adressrechnen

Adressen n	Rechnung	Leitungen	Adressbereich Binär	Adressbereich HEX
2	log₂ 2 =	1	0 .. 1	0 .. 1
16	log₂ 16 =	4	0 .. 1111	0 .. F
256	log₂ 256 =	8	0 .. 1111 1111	0 .. FF
1k = 1.024	log₂ 1024 =	10	0 .. 11 1111 1111	0 .. 3 FF
64k = 65536	log₂ 65536 =	16	0 .. 1111 1111 1111 1111	0 .. FF FF
1M = 1.048.576	log₂ 1M =	20	0 .. 20 Einsen	0 .. F FF FF
1G = 1.073.741.824	log₂ 1G =	30	0 .. 30 Einsen	0 .. 3F FF FF FF